TRANSFORMACIÓN DE UN CONJUNTO BORROSO
Esta operación permite reducir un conjunto borroso a la misma base. La Normalización asegura que al menos un elemento del conjunto borroso tenga un grado de pertenencia igual a uno.
Se denota por NORM(A), pero por comodidad usaremos
A1 = { x e X / mA(x) }
m
donde m = max {mA(x) / x e A} .
Ejemplo: Consideremos el conjunto borroso:
A = {0/-4 + 0.5/-3 + 0.5/-2 + 0/-1 + 0.4/0 + 0/1 + 0/2 + 0.5/3 + 0.6/4}
Sabiendo que el número máximo es el 0.6, el conjunto normalizado de A es
A1 = {0/-4 + 0.83/-3 + 0.83/-2 + 0/-1 + 0.66/0 + 0/1 + 0/2 + 0.83/3 + 1/4}
III. 4 CONCEPTOS ADICIONALES.
a) SOPORTE DE UN CONJUNTO BORROSO
El soporte de un conjunto borroso A en un conjunto de discurso X, es el conjunto nítido que contiene todos los elementos de X que tienen una función de pertenencia diferente a cero en A.
Simbólicamente se representa como:
Sop A = {x e X / m A (x) > 0}
Considerando el conjunto borroso:
A = {0.5/1 + 0.2/2 + 0.2/3 + 0.8/4 + 0.3/5 + 0/6 + 0/7}
el soporte de este conjunto A es:
Sop A ={1, 2, 3, 4, 5}
b) CARDINALIDAD
El número de elementos de un conjunto nítido finito A es llamado Cardinalidad de A y es denotado por ½A½. Análogamente, para un conjunto
borroso A con soporte finito, podemos considerar la Cardinalidad de A como la suma de los grados de pertenencia, denotada como
card A = å m (A (x)) = ½A½ (1)
Para el conjunto borroso A siguiente:
A = {1/0.1 + 1/0.2 + 0.5/0.3 + 1/0.4 + 1/0.5}
La cardinalidad de A es:
½A½= 1 + 1 + 0.5 + 1 + 1 = 4.5
Para conjuntos de discurso infinitos X, esta suma está restringida al soporte de A. En el caso de conjuntos de discurso infinitos contables, es decir, conjuntos discretos X = {ai / i ³ 1}, los conjuntos borrosos con soporte infinito pueden tener cardinalidad finita o infinita como (1).
c) PUNTO BORROSO ÚNICO (“SINGLETON”)
Un conjunto borroso A cuyo soporte es un único punto en X con
m A (x) = 1, es llamado punto borroso único.
d) ALTURA DE UN CONJUNTO BORROSO
La altura de un conjunto borroso A está definido por:
Altura de A = sup m A (x)
xeX
sup representa supremo.
El conjunto borroso con una altura igual a uno es llamado NORMAL.
Cuando la altura de un conjunto borroso A es el valor de la función de pertenencia de únicamente uno de los puntos del conjunto de discurso X, en este caso A es llamado CONJUNTO UNIMODAL.
Ejemplo: Consideremos los conjuntos borrosos:
A = {0/0 + 1/2 + 0/4 + 0/6 + 0/8 + 0/10}
Observamos en este caso que la altura de A es igual a 1
Existen otros operadores que tienen una básica axiomática fuerte (Klir and Yuan, 1995):
1) Operadores t-conorma para la unión difusa ( también conocido como s-norma y denotada como Å ). El máximo y la suma algebraica son t-conormas; otros ejemplos de t-conorma son:
· Suma acotada y = min (1, x + y)
x si y = 0
· Suma drástica: x Å y = y si x = 0
1 en los de más casos.
2) Operadores t- norma para la intersección difusa (denotada por * ). El mínimo y el producto algebraico son t – norma; otros ejemplos de t – norma son:
· Producto acotado = max (0, x + y - 1)
x si y = 1
· Producto drástico: x * y = y si x = 1
1 en los de más casos.
