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TRANSFORMACIÓN DE UN CONJUNTO BORROSO

Esta operación permite reducir un conjunto borroso a la misma base. La Normalización asegura que al menos un elemento del conjunto borroso tenga un grado de pertenencia igual a uno.

Se denota por NORM(A), pero por comodidad usaremos

A¹ = { x e X / m_A(x) }

donde m = max {m_A(x) / x e A}_.

Ejemplo: Consideremos el conjunto borroso:

A = {0/-4 + 0.5/-3 + 0.5/-2 + 0/-1 + 0.4/0 + 0/1 + 0/2 + 0.5/3 + 0.6/4}

Sabiendo que el número máximo es el 0.6, el conjunto normalizado de A es

A¹ = {0/-4 + 0.83/-3 + 0.83/-2 + 0/-1 + 0.66/0 + 0/1 + 0/2 + 0.83/3 + 1/4}

III. 4 CONCEPTOS ADICIONALES.

a) SOPORTE DE UN CONJUNTO BORROSO

El soporte de un conjunto borroso A en un conjunto de discurso X, es el conjunto nítido que contiene todos los elementos de X que tienen una función de pertenencia diferente a cero en A.

Simbólicamente se representa como:

Sop A = {x e X / m _A (x) > 0}

Considerando el conjunto borroso:

A = {0.5/1 + 0.2/2 + 0.2/3 + 0.8/4 + 0.3/5 + 0/6 + 0/7}

el soporte de este conjunto A es:

Sop A ={1, 2, 3, 4, 5}

b) CARDINALIDAD

El número de elementos de un conjunto nítido finito A es llamado Cardinalidad de A y es denotado por ½A½. Análogamente, para un conjunto

borroso A con soporte finito, podemos considerar la Cardinalidad de A como la suma de los grados de pertenencia, denotada como

card A = å m _(A _(x)) = ½A½ (1)

Para el conjunto borroso A siguiente:

A = {1/0.1 + 1/0.2 + 0.5/0.3 + 1/0.4 + 1/0.5}

La cardinalidad de A es:

½A½= 1 + 1 + 0.5 + 1 + 1 = 4.5

Para conjuntos de discurso infinitos X, esta suma está restringida al soporte de A. En el caso de conjuntos de discurso infinitos contables, es decir, conjuntos discretos X = {a_i / i ³ 1}, los conjuntos borrosos con soporte infinito pueden tener cardinalidad finita o infinita como (1).

c) PUNTO BORROSO ÚNICO (“SINGLETON”)

Un conjunto borroso A cuyo soporte es un único punto en X con

m _A (x) = 1, es llamado punto borroso único.

d) ALTURA DE UN CONJUNTO BORROSO

La altura de un conjunto borroso A está definido por:

Altura de A = sup m _A (x)

xeX

sup representa supremo.

El conjunto borroso con una altura igual a uno es llamado NORMAL.

Cuando la altura de un conjunto borroso A es el valor de la función de pertenencia de únicamente uno de los puntos del conjunto de discurso X, en este caso A es llamado CONJUNTO UNIMODAL.

Ejemplo: Consideremos los conjuntos borrosos:

A = {0/0 + 1/2 + 0/4 + 0/6 + 0/8 + 0/10}

Observamos en este caso que la altura de A es igual a 1

OTROS OPERADORES

Existen otros operadores que tienen una básica axiomática fuerte (Klir and Yuan, 1995):

1) Operadores t-conorma para la unión difusa ( también conocido como s-norma y denotada como Å ). El máximo y la suma algebraica son t-conormas; otros ejemplos de t-conorma son:

· Suma acotada y = min (1, x + y)

x si y = 0

· Suma drástica: x Å y = y si x = 0

1 en los de más casos.

2) Operadores t- norma para la intersección difusa (denotada por * ). El mínimo y el producto algebraico son t – norma; otros ejemplos de t – norma son:

· Producto acotado = max (0, x + y - 1)

x si y = 1

· Producto drástico: x * y = y si x = 1

1 en los de más casos.

PROF. BELKIS LOPEZ DE LAMEDA MAYO 2002

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Lógica Difusa

· Suma drástica: x Å y = y si x = 0

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